Лунно-солнечный календарь
Теория. В основу теории лунно-солнечных календарей положены две астрономические величины:
1 тропический год = 365,242 20 суток,
1 синодический месяц = 29,530 59 суток.
Отсюда получаем:
1 тропический год = 12,368 26 синодических месяцев.
Другими словами, в солнечном году содержится 12 полных лунных месяцев и еще примерно одна треть. Следовательно, год в лунно-солнечном календаре может состоять из 12 или из 13 лунных месяцев. В последнем случае год называется эмболисмическим (от греческого «эмболисмос» — вставка).
Заметим, что в Древнем Риме и средневековой Европе вставку дополнительного дня или месяца было принято называть интеркаляцией (от латинского inter-calatio — вставка), а сам добавленный месяц — интер-калярием.
В лунно-солнечном календаре начало каждого календарного месяца должно как можно ближе располагаться к новолунию, а средняя на протяжении цикла продолжительность календарного года должна быть близкой к продолжительности тропического года. Вставка 13-го месяца производится время от времени так, чтобы начало календарного года поддерживать по возможности ближе к какому-то моменту астрономического солнечного года, например, к равноденствию.
Проведем разложение дробной части отношения продолжительности тропического года к продолжительности синодического месяца, т. е. величины К = 0,36826 в цепную дробь:
К = М/N = 1/2; 1/3; 3/8; 4/11; 7/19; 123/334;...
Созданные в древности лунно-солнечные календари соответствуют третьей (3/8) и пятой (7/19) подходящим дробям.
Триэтерида. Простейшим случаем лунно-солнечного календаря является период в два года, на протяжении которого производится вставка одного лунного месяца. В хронологии эта система получила условное название триэтериды, так как многие народы, в частности римляне, вели счет inclusive — «включительно», т. е. включая в счет второй год предыдущего двухлетнего периода.
Очевидно, что первый из двух годов мог состоять из 12 лунных месяцев, второй — из 13, так что всего в триэтериде насчитывалось 25 месяцев. Но тай как 25 синодических месяцев составляют
29,53059 * 25 = 738,26475 (суток), то в указанном промежутке времени могло быть 13 полных (по 30 дней) и 12 пустых (по 29 дней) месяцев, так как 13* 30 + 12* 29 = 738 (суток).
Между тем продолжительность двух тропических годов равна 730,4844 суток. Поэтому календарь, построенный на триэтериде, за каждые восемь лет опережал Луну на одни сутки , но отставал от Солнца за два года на 7d,78, а за восемь лет — на целый месяц.
Но древние люди долго не знали истинной продолжительности тропического года. Вот почему имеются все основания полагать, что именно такой счет времени и был использован первоначально многими народами. Для приблизительного согласования с Солнцем достаточно было второй год каждой четвертой триэтериды принимать в 12 месяцев, а с Луной — раз в восемь лет укорачивать полный месяц на одни сутки. Конечно, время от времени система нуждалась в более строгой корректировке.
Значительно точнее был истинный трехлетний цикл. В данном случае 37 синодических месяцев = 1092,6318 суток, 3 тропических года = 1095,7266 суток.
Таким образом, трехлетний цикл (19 * 30 + 18 *29 = 1092) опережает солнечный год всего на три дня; за 10 таких циклов (за 30 лет) эта ошибка увеличивается до 30,95 суток. Вставка раз в 30 лет одного лунного месяца давала возможность с достаточной степенью точности согласовывать начало календарного года с солнечным.
Октаэтерида. Восьмилетний цикл — октаэтерида — использовался в Древнем Вавилоне и, по-видимому, независимо от вавилонян был открыт древними греками. Он был описан греческим астрономом Клеостратом около 540 г, до н. э, в особом сочинении. В данном случае 8 тропических лет = 2921,9376 = 2922 суток, 93 синодических месяца = 2923,5284 суток.
Следовательно, 8-летний календарный цикл будет состоять из 99 месяцев: 53 полных и 46 пустых, так как 53 * 30 + 46 * 29 = 2924 (суток).
Ошибка периода в отношении Луны составляет 0d,47, т. е. после двух таких циклов конкретная фаза Луны появляется на один день раньше, чем в начале цикла, следовательно, календарные циклы должны содержать попеременно 2924 и 2923 суток. Но по отношению к Солнцу погрешность составляет 1,53 суток за 8 лет или примерно трое суток за 16 лет. И если в начале цикла новолуние имело место в момент равноденствия, то через 16 лет оно произойдет лишь трое суток спустя.
Внутренняя структура периода, т. е. распределение дней по месяцам, становится ясной, если расписать этот промежуток времени так:
2924 = [(8 * 354) + 2] + (3 *30) или 2924 = 8 [6 *30 + 6 * 29] + (3 * 30).
Как видно, в 8-летнем периоде, кроме правильного чередования полных и пустых месяцев, должна быть проведена вставка двух дней (во втором цикле — одного) и трех полных месяцев. Эти последние чаще всего вставлялись в 3-м, 6-м и 8-м календарных годах цикла. Тем самым оказывается, что 8-летний цикл фактически является сочетанием двух трехлетних и одного двухлетнего цикла.
Обобщения восьмилетнего цикла. В Древней Греции некоторое время использовались и более продолжительные циклы, вытекающие из восьмилетнего. Естественным обобщением октаэтериды является 16-летний цикл — эккэдекаэтерида. Здесь период состоит из 105 полных и 93 пустых месяцев, что обеспечивает достаточно хорошее согласие календаря с фазами Луны:
105*30 + 93*29 = 5847,
29,53059 * 198 = 5847,0568.
Конкретная фаза Луны в данном случае сдвигается вперед на одни сутки лишь за 281,69 года. Но 365,2422* 16 = 5843,875≈ 5844.
Следовательно, за каждые 16 лет начало счета (1-е число весеннего месяца лунно-солнечного календаря) уходит вперед по отношению к весеннему равноденствию на те же трое суток вперед. После десяти таких циклов для согласования календаря с солнечным годом необходимо выбросить из счета ровно один полный месяц в 30 дней.
Путем таких рассуждений был открыт 160-летний цикл. В нем насчитывается 1979 месяцев, причем на последнее 8-летие приходится не три, а два вставных месяца. При этом 1979 синодических месяцев = 58 441,037 суток, 160 тропических лет = 58 438,752 суток;
расхождение с Солнцем за 160 лет составляет лишь немногим более двух суток. Можно поэтому сказать, что в 160-летнем цикле октаэтерида была доведена до высокой степени совершенства и могла просуществовать в таком виде довольно долгое время, не давая заметных уклонений от солнечного года. Изобретение 160-летнего цикла приписывается выдающемуся александрийскому ученому Эратосфену (около 276 — около 196 гг. до н. э.).
И, наконец, в Западной Европе в III—VI вв., а в Британии и до начала IX в. н. э. при определении даты весеннего полнолуния использовался 84-летний цикл (l0 * 8 +1/2* 8) . В этом периоде насчитывается 84 тропических года = 30 680,365 суток, 1039 синодических месяцев = 30 682,283 суток.
Принималось, что цикл состоит из 1039 месяцев, из них 551 полный (в том числе вставных месяцев 31) и 488 пустых. Следовательно, в конце цикла полнолуние сдвигается на одни сутки вперед, так как в календарном цикле насчитывается всего 30 682 суток. 84-летний цикл был удобен для расчетов потому, что по его истечении дни недели в юлианском календаре приходились на те же календарные числа месяцев (так как 84 = 3 * 28).
Метонов цикл. Более точным все же является 19-летний цикл, использовавшийся в Древнем Китае, Вавилоне, самостоятельно открытый греческим астрономом Метоном в 432 г. до н. э. В этом цикле выполняется соотношение
19 тропических лет = 235 синодических месяцев.
В самом деле,
19 X365,242 20 = 6939,602 суток
и
235X 29,530 59 = 6939,689 суток.
Погрешность метонова цикла составляет 0,087 суток, т. е. 2,1 часа — на столько фазы Луны сдвигаются вперед за каждые 19 лет. Это составляет одни сутки за 219 лет (рис.).
Рис. Сдвиг конкретной фазы Луны (например, полнолуния) по цатам: / — григорианского, 2 — юлианского календарей из-за неточности метонова цикла
Метонов цикл служил основой для построения многих лунно-солнечных календарей. А так. как в календарном году и месяце должно быть целое число суток, то фактически принималось, что 235 лунных месяцев = 6940 суткам.
Таким образом, в цикле должно быть 110 пустых (по 29 дней) и 125 полных (по 30 дней) месяцев: 110* 29 + 125 * 30 = 6940. Числитель подходящей дроби показывает, что вставка 13-го месяца должна производиться 7 раз в каждые 19 лет.